Oder warum 6.3 Millionen im Jackpot besser als 45 Millionen sind
Oft wird mit der Höhe des zu gewinnenden Jackpots für eine Teilnahme am staatlichen Lotto geworben. In diesem Beitrag wird gezeigt in wie weit der Jackpot und die Anzahl der erwarteten Spieler den Erwartungswert beeinflussen können. Und das ein größerer Jackpot nicht unbedingt zu einem größeren Erwartungswert führt.
Lotto beziehungsweise Lotterien werden oft als Beispiele genannt, um Begriffe aus der Stochastik zu veranschaulichen. Das liegt zum einen daran, dass die Grundprinzipien des Spiels im Allgemeinen bekannt sind und zum anderen dass der Zufall darüber entscheidet welche Zahlenkombination gezogen wird. Und es daher keine Strategie oder Methode gibt die Zahlen zuverlässig vorhersagen zu können. Aber wie bereits Helman (2004) [1] aufgezeigt hat, ist das wirkliche Ergebnis des Spiels nicht welche Zahlen gezogen wurden, sondern welchen Gewinn dadurch erzielt wurde. Und er weist weiter daraufhin dass beim Spielen mit unpopulären Zahlen im Vergleich zu populären der Erwartungswert hierbei höher ist.
In dem folgenden Modell nach Corbett und Geyer (2006) [2] wird eine weitere Komponente die den Erwartungswert beim Lotto beeinflusst – der Jackpot betrachtet. Dessen Einfluss ist unter gewissen Umständen so groß dass er in der Lage ist ein Glücksspiel mit positiver Gewinnerwartung zu generieren. Neben der Variation des Erwartungswertes bietet das Modell die Möglichkeit die Possion Verteilung anhand eines bekannten Beispiels einzuführen.
Wie Lotto funktioniert
Beim allseits bekannten Lotto wird die Hälfte der Spieleinsätze, als Gewinn an die Spieler ausgeschüttet. Jeder Gewinnklasse erhält dabei ein vorher festgelegter Anteil. So erhält die niedrigste Gewinnklasse, die Klasse 8 d.h. drei Richtige, einen Anteil 44 % aller ausgeschütteten Gewinne. Die höchste Gewinnklasse, die Klasse 1, einen Anteil in Höhe von 10 %.
Der Erwartungswert für die Gewinnklassen 2 bis 8 liegt bei 0.3375 Euro da 45 % der Lottoeinsätze als Gewinn auf diese Klassen entfallen und der Einsatz 0.75 Euro pro Tipp beträgt.
Im Fall das die höchste Gewinnklasse unbesetzt ist, d.h. kein Spieler hat die sechs gezogenen Zahlen richtig vorhergesagt und die gezogene Superzahl richtig, wird der Gewinnanteil dieser Klasse dem Gewinnanteil derselben Klasse bei der folgenden Ziehung dazugeschlagen. Dadurch entsteht dann der Jackpot, der im Jahr 2007 auf die Rekordhöhe von 45 Million Euro (beworben mit 43 Mio.) anwuchs. Im gleichen Jahr gab es auch bei der Auswahlwette (6 aus 45) einen Rekordjackpot, wenn auch in einer wesentlich bescheideneren Höhe von 6.3 Million Euro. Die Wahrscheinlichkeit den Jackpot mit einem gespielten Feld zu gewinnen liegt bei 1: 139.838.160, wenn mehr als ein Spieler den Jackpot gewinnt wird dieser zu gleichen Teilen auf die Gewinner verteilt.
Einfache aber falsche Analyse
Die Ziehung vom 05.12.2007 dient uns als Beispiel für die Berechnung. Bei dieser Ziehung hatte der beworbene Jackpot eine Höhe von 43 Mio. Euro. Wenn wir bei der Berechnung davon ausgehen, dass es nur einen Gewinner gibt, ist der erwartete Gewinnanteil aus dem Jackpot
43 Million / 139.838.160 ca. 0,3075 Euro
bei einer Chance von 1: 139.838.160 diesen zu gewinnen.
Wenn wir zu diesem Betrag noch den erwarteten Gewinn der anderen Klassen 0.3375 Euro dazurechnen ergibt sich ein Erwartungswert in Höhe von 0.645 Euro.
Komplexere Analyse
Bei der einfachen Analyse wurde nicht berücksichtig, dass die Höhe von Gewinnanteil der aus dem Jackpot stammt von der Anzahl der Spieler abhängt. Denn wenn mehr als ein Spieler die richtigen Zahlen vorhergesagt wird der Jackpot zwischen den Gewinner aufgeteilt. Daher muss zuerst die Anzahl der Gewinner bestimmt werden um den Wert des Jackpots berechnen zu können, dies geschieht mit Hilfe der Poisson Verteilung. Mit dieser kann das Auftreten seltener Ereignisse bestimmt werden, wie etwa radioaktiver Zerfall oder anschaulicher das Gewinnen des Jackpots.
p(k) = m^{k} e^{-m}/ k!
Dabei muss erwähnt werden, dass die Poisson Verteilung hier nur als eine Approximation dient, da es zum einen beim Lotto nicht mehr Gewinner wie gespielte Felder geben kann und zum anderen da gespielten Felder nur bedingt zufällig sind s.a. Helman (2004).
Zuerst muss die Anzahl der gespielten Felder ermittelt werden, wir benützen hierfür den beworbenen Jackpot. So lässt sich etwa anhand des damals beworbenen Jackpots in Höhe von 43 Mio. Euro und des bis dahin aufgelaufen Jackpots von ca. 38.5 Mio. sagen, dass der deutsche Lotto-TOTO Block von ca. 121.173.350 gespielter Felder bei der folgenden Ziehung ausgegangen ist. Damit kann die Anzahl der erwarteten Gewinner wie folgt berechnet werden:
121.173.350 / 139.838.160 = 0.86652563
Um den erwarteten Gewinn aus dem Jackpot zu bestimmen verwenden wir die folgende Formel:
W = J (1 – e^{-m}) / m
wobei W für den erwarteten Wert des Gewinns des Jackpots steht, J die aktuelle Höhe des Jackpots ist, m die Anzahl der erwarteten Gewinner repräsentiert und e die Eulerzahl ist. Wenn wir nun die Werte einsetzen ergibt sich als echter Wert für den Jackpot
43 Mio. Euro * (1 – e^{-0.876}) / 0.876 ca. 28.76 Mio.
Alternativ lässt sich die Berechnung auch mit der Formel der Poisson Verteilung durchführen, in der folgenden Tabelle finden sich die Werte für bis zu sechs Gewinner.
| Anzahl andere Gewinner |
Wahrscheinlichkeit | Summe | Produkt |
| 0 | 0.4204 | 43 | 18.077 |
| 1 | 0.3643 | 21.5 | 7.832 |
| 2 | 0.1578 | 14.34 | 2.263 |
| 3 | 0.0456 | 10.75 | 0.490 |
| 4 | 0.0099 | 8.6 | 0.085 |
| 5 | 0.0017 | 7.17 | 0.0122 |
Die erste Spalte zeigt dabei die Anzahl der anderen Spieler die auch den Jackpot gewonnen haben, die zweite zeigt die Wahrscheinlichkeit hierfür, in der dritten Spalte findet sich der Anteil am Jackpot, die letzte Spalte ist das Produkt der zweiten und der dritten, die Summe der vierten Spalte ist der gesuchter erwarteter Jackpot. Nun ist es einfach den Erwartungswert zu bestimmen,
28.76 Mio. / 140 Mio. + 0,3375 ca. 0,543 Euro
und damit fast 10 Cent geringer als zuvor.
Auswahlwette
Bei der bereits angesprochen Auswahlwette handelt es sich um ein im Vergleich zum Lotto eher unpopuläreres Gewinnspiel. Bei diesem wird auf Fußballspiele getippt, und es gilt die sechs torreichsten unentschieden endenden Partien vorherzusagen. Von einem Spieler der dies nicht weiß erscheint es wie eine Form des Lottos mit dem Unterschied das es hierbei nur 45 Zahlen zur Auswahl gibt und der Einsatz 0.65 Euro anstelle 0.75 Euro beträgt. Und wie beim Lotto auch gibt es die Möglichkeit für einen Jackpot in der höchsten Gewinnklasse. Die Chance den Jackpot mit einem gespielten Feld zu gewinnen beträgt 1 : 8.145.060.Bei diesem Spiel liegt der Gewinn der Klassen 2 bis 6 bei 0.195 Euro da 30 % der Spieleinnahmen als Gewinn auf diese Gewinnklassen entfallen bei einem Einsatz von 0.65 Euro. Aufgrund des beworbenen Jackpots in Höhe von 6.3 Mio Euro ergibt sich, dass für die folgende Veranstaltung mit 3.5 Mio gespielten Feldern gerechnet wurde und der Wert des erwarteten Jackpots bei 5.1 Mio liegt.
6.3 Mio. Euro (1 -e^{-0,435 } ) /0,435 ca. 5.1 Mio.
Und damit beträgt der Erwartungswert,
5.1 Mio. / 8.1 Mio. + 0,195 ca. 0,825 Euro damit hat das Spiel eine positive Gewinnerwartung da der Einsatz pro Spielfeld 0,65 Euro beträgt und der erwartete Gewinn 0,825 Euro.
Verweise
- Helman, D. Nicht in aller Wahrscheinlichkeit ist Wahrscheinlichkeit Alles Stochastik in der Schule 24 (3), S.42-44 2004
- Corbett, J. und Geyer, C. : How to Analyze the Lottery (2006)
http://www.stat.umn.edu/~charlie/lottery/ - Frank und Rehm: An unnoted fair bet in german state run lotteries, a short notice (2007)
http://mpra.ub.uni-muenchen.de/5766/
